Button1: TButton;
imgLogoEmbarcadero: TImage;
IdHTTP1: TIdHTTP;

No evento onclick do botão:

var
  ImageMem : TMemoryStream;
  ImageGif: TGIFImage;
begin
  ImageMem := TMemoryStream.Create;
  ImageGif := TGIFImage.Create;
  try
    try
      IdHTTP1.Get('http://www.embarcadero.com/images/logo_new.gif', ImageMem);
    except on e: EIdHTTPProtocolException do
      begin
        if e.ErrorCode = 404 then // código de página não encontrada
        begin
          // Não achou!
          Exit;
        end;
      end;
    end;
    ImageMem.Position := 0;
    ImageGif.LoadFromStream(ImageMem);
    imgLogoEmbarcadero.Picture.Assign(ImageGif);
  finally
    ImageGif.Free;
    ImageMem.Free;
  end;
end;